题目

47【中等】(真题) x arrow 0^+ 时, 下列函数中( ) 是无穷小量。 A.e^(1)/(x) B.xsin(1)/(x) C.ln x D.(1)/(x)sin x

47【中等】(真题) x $\rightarrow 0^{+}$ 时, 下列函数中( ) 是无穷小量。
A.$e^{\frac{1}{x}}$
B.$x\sin\frac{1}{x}$
C.$\ln x$
D.$\frac{1}{x}\sin x$

题目解答

答案

当 $x \to 0^+$ 时，分析各选项的极限： A. $e^{\frac{1}{x}}$：$\frac{1}{x} \to +\infty$，故 $e^{\frac{1}{x}} \to +\infty$，非无穷小量。 B. $x \sin \frac{1}{x}$：$\sin \frac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 内 oscillate，但 $x \to 0^+$，故 $x \sin \frac{1}{x} \to 0$，为无穷小量。 C. $\ln x$：$\ln x \to -\infty$，非无穷小量。 D. $\frac{1}{x} \sin x$：$\sin x \sim x$（当 $x \to 0$），故 $\frac{1}{x} \sin x \to 1$，非无穷小量。 **答案：** $\boxed{B}$

解析

考查要点：本题考察无穷小量的定义及极限的计算，需要判断各选项在$x \to 0^+$时的极限是否为0。

解题核心思路：

  1. 无穷小量的定义：当$x \to x_0$时，若函数$f(x) \to 0$，则称$f(x)$是$x \to x_0$时的无穷小量。
  2. 对每个选项分别分析其极限：
    • 指数函数$e^{1/x}$的极限；
    • 有界振荡函数$x \sin \frac{1}{x}$的极限；
    • 对数函数$\ln x$的极限；
    • 三角函数与分式组合$\frac{1}{x} \sin x$的极限。

破题关键点：

  • 选项B中，$\sin \frac{1}{x}$的有界性与$x \to 0^+$的乘积关系；
  • 选项D中，利用$\sin x \sim x$（当$x \to 0$）进行近似化简。

选项A：$e^{\frac{1}{x}}$

当$x \to 0^+$时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，因此$e^{\frac{1}{x}} \to +\infty$，不是无穷小量。

选项B：$x \sin \frac{1}{x}$

  • $\sin \frac{1}{x}$的取值范围为$[-1, 1]$，即$|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$；
  • 因此$|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x|$；
  • 当$x \to 0^+$时，$|x| \to 0$，根据夹逼定理，$x \sin \frac{1}{x} \to 0$，是无穷小量。

选项C：$\ln x$

当$x \to 0^+$时，$\ln x \to -\infty$，不是无穷小量。

选项D：$\frac{1}{x} \sin x$

  • 当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$（泰勒展开的一阶近似）；
  • 因此$\frac{1}{x} \sin x \approx \frac{1}{x} \cdot x = 1$；
  • 极限为$1$，不是无穷小量。