注 类似地，已知当x∈[2,4]时，ax+b≥lnx，若int_(2)^4(ax+b-ln x)dx取得最小值，则a+b=____.(ln3-(2)/(3))
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查不等式恒成立条件下的积分最值问题，涉及函数的切线性质和导数求极值的应用。
解题核心思路：
- 转化条件：将不等式 $ax + b \geq \ln x$ 在区间 $[2,4]$ 上恒成立，转化为直线 $y = ax + b$ 与曲线 $y = \ln x$ 的位置关系。
- 几何意义：为使积分 $\int_{2}^{4} (ax + b - \ln x) \, dx$ 最小，需让直线尽可能贴近曲线，此时直线与曲线在某点相切。
- 代数处理：通过切点条件（函数值相等、导数相等）确定 $a$ 和 $b$，再利用导数求极值确定切点位置，最终求出 $a + b$。
破题关键：
- 相切条件是核心突破口，确保直线在区间内始终满足不等式的同时，使积分值最小。
步骤1：拆分积分表达式
将积分拆分为两部分：
$\int_{2}^{4} (ax + b - \ln x) \, dx = \int_{2}^{4} (ax + b) \, dx - \int_{2}^{4} \ln x \, dx$
步骤2：计算积分
-
计算 $\int_{2}^{4} (ax + b) \, dx$：
$\int_{2}^{4} (ax + b) \, dx = \left[ \frac{a}{2}x^2 + b x \right]_{2}^{4} = \frac{a}{2}(16 - 4) + b(4 - 2) = 6a + 2b$ -
计算 $\int_{2}^{4} \ln x \, dx$（分部积分法）：
$\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C \quad \Rightarrow \quad \int_{2}^{4} \ln x \, dx = (4 \ln 4 - 4) - (2 \ln 2 - 2) = 6 \ln 2 - 2$
步骤3：建立最值条件
原积分表达式为：
$6a + 2b - (6 \ln 2 - 2)$
为最小化该值，需最小化 $6a + 2b$，同时满足 $ax + b \geq \ln x$ 在 $[2,4]$ 上恒成立。
步骤4：利用相切条件
设直线 $y = ax + b$ 与曲线 $y = \ln x$ 在 $x = x_0$ 处相切，则：
- 函数值相等：
$a x_0 + b = \ln x_0$ - 导数相等（曲线导数为 $\frac{1}{x}$）：
$a = \frac{1}{x_0}$
代入得：
$b = \ln x_0 - \frac{1}{x_0} \cdot x_0 = \ln x_0 - 1$
步骤5：构造目标函数并求极值
将 $a = \frac{1}{x_0}$ 和 $b = \ln x_0 - 1$ 代入 $6a + 2b$：
$6 \cdot \frac{1}{x_0} + 2(\ln x_0 - 1) = \frac{6}{x_0} + 2 \ln x_0 - 2$
令 $f(x_0) = \frac{6}{x_0} + 2 \ln x_0 - 2$，求导并令导数为零：
$f'(x_0) = -\frac{6}{x_0^2} + \frac{2}{x_0} = 0 \quad \Rightarrow \quad x_0 = 3$
验证 $x_0 = 3$ 在区间 $[2,4]$ 内，且为极小值点。
步骤6：计算 $a + b$
当 $x_0 = 3$ 时：
$a = \frac{1}{3}, \quad b = \ln 3 - 1 \quad \Rightarrow \quad a + b = \ln 3 - \frac{2}{3}$