题目
15.函数 =(x)^3-3(x)^2 在[1,4]上的最大值为 __ 。
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $y={x}^{3}-3{x}^{2}$ 的导数，以确定函数的增减性。导数为 $y' = 3x^2 - 6x$。
步骤 2：求临界点
令导数等于零，求出临界点。$3x^2 - 6x = 0$，解得 $x = 0$ 或 $x = 2$。由于我们只关心区间 [1,4]，所以只考虑 $x = 2$。
步骤 3：比较端点和临界点的函数值
在区间 [1,4] 上，我们需要比较端点 $x = 1$ 和 $x = 4$ 以及临界点 $x = 2$ 的函数值。
- 当 $x = 1$ 时，$y = 1^3 - 3 \cdot 1^2 = -2$。
- 当 $x = 2$ 时，$y = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4$。
- 当 $x = 4$ 时，$y = 4^3 - 3 \cdot 4^2 = 64 - 48 = 16$。
首先，我们需要求出函数 $y={x}^{3}-3{x}^{2}$ 的导数，以确定函数的增减性。导数为 $y' = 3x^2 - 6x$。
步骤 2：求临界点
令导数等于零，求出临界点。$3x^2 - 6x = 0$，解得 $x = 0$ 或 $x = 2$。由于我们只关心区间 [1,4]，所以只考虑 $x = 2$。
步骤 3：比较端点和临界点的函数值
在区间 [1,4] 上，我们需要比较端点 $x = 1$ 和 $x = 4$ 以及临界点 $x = 2$ 的函数值。
- 当 $x = 1$ 时，$y = 1^3 - 3 \cdot 1^2 = -2$。
- 当 $x = 2$ 时，$y = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4$。
- 当 $x = 4$ 时，$y = 4^3 - 3 \cdot 4^2 = 64 - 48 = 16$。