题目
[题目]求函数 =dfrac ({ln )^2x}(x) 的极值。
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导
对函数 $y=\dfrac {{\ln }^{2}x}{x}$ 求导，得到 $y'=\dfrac {2\ln x-{\ln }^{2}x}{{x}^{2}}$。
步骤 2：确定增减区间
令 $y'=\dfrac {2\ln x-{\ln }^{2}x}{{x}^{2}}\gt 0$，解得 $0\lt \ln x\lt 2$，即 $1\lt x\lt {e}^{2}$，函数在 $(1,e^2)$ 上单调递增。
令 $y'=\dfrac {2\ln x-{\ln }^{2}x}{{x}^{2}}\lt 0$，解得 $\ln x\lt 0$ 或 $\ln x\gt 2$，即 $0\lt x\lt 1$ 或 $x\gt {e}^{2}$，函数在 $(0,1)$ 和 $(e^2,+\infty)$ 上单调递减。
步骤 3：确定极值
根据增减区间，函数在 $x=1$ 处取得极小值0，在 $x={e}^{2}$ 处取得极大值 $\dfrac {\ln {e}^{2}}{{e}^{2}}=\dfrac {4}{{e}^{2}}$。
对函数 $y=\dfrac {{\ln }^{2}x}{x}$ 求导，得到 $y'=\dfrac {2\ln x-{\ln }^{2}x}{{x}^{2}}$。
步骤 2：确定增减区间
令 $y'=\dfrac {2\ln x-{\ln }^{2}x}{{x}^{2}}\gt 0$，解得 $0\lt \ln x\lt 2$，即 $1\lt x\lt {e}^{2}$，函数在 $(1,e^2)$ 上单调递增。
令 $y'=\dfrac {2\ln x-{\ln }^{2}x}{{x}^{2}}\lt 0$，解得 $\ln x\lt 0$ 或 $\ln x\gt 2$，即 $0\lt x\lt 1$ 或 $x\gt {e}^{2}$，函数在 $(0,1)$ 和 $(e^2,+\infty)$ 上单调递减。
步骤 3：确定极值
根据增减区间，函数在 $x=1$ 处取得极小值0，在 $x={e}^{2}$ 处取得极大值 $\dfrac {\ln {e}^{2}}{{e}^{2}}=\dfrac {4}{{e}^{2}}$。