题目

求极限lim _(xarrow {0)^+}dfrac (1-sqrt {cos x)}(x(1-cos sqrt {x))}

求极限 $\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x\left(1-\cos\sqrt{x}\right)}$

题目解答

答案

进行一次有理化，分子分母同时乘以 $1+\sqrt{\cos x}$ 有：

极限 $\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x\left(1-\cos\sqrt{x}\right)}$

$=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\left(1-\sqrt{\cos x}\right)\left(1+\sqrt{\cos x}\right)}{x\left(1-\cos\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{\cos x}\right)}$

$=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1-\cos x}{x\left(1-\cos\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{\cos x}\right)}$

根据等价无穷小， $x\rightarrow0^+$ 时， $1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^2$

$1-\cos\sqrt{x}\sim\frac{1}{2}\left(\sqrt{x}\right)^2=\frac{1}{2}x$

∴

$\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1-\cos x}{x\left(1-\cos\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{\cos x}\right)}$

$=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\frac{1}{2}x^2}{x\cdot\frac{1}{2}x\cdot\left(1+\sqrt{\cos x}\right)}$

$=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1}{\left(1+\sqrt{\cos x}\right)}=\frac{1}{\left(1+\sqrt{\cos0}\right)}=\frac{1}{2}$

所以本题答案为极限 $\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x\left(1-\cos\sqrt{x}\right)}=\frac{1}{2}$

解析

步骤 1：有理化分子
为了消除根号，我们对分子和分母同时乘以$1+\sqrt {\cos x}$，这样可以利用差平方公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$来简化表达式。
步骤 2：应用等价无穷小
当$x$趋近于$0$时，$1-\cos x$可以近似为$\dfrac{1}{2}x^2$，这是由于$\cos x$在$x=0$处的泰勒展开式为$1-\dfrac{1}{2}x^2+O(x^4)$。同样地，$1-\cos \sqrt{x}$可以近似为$\dfrac{1}{2}x$，因为$\cos \sqrt{x}$在$x=0$处的泰勒展开式为$1-\dfrac{1}{2}x+O(x^2)$。
步骤 3：计算极限
将上述等价无穷小代入原式，然后计算极限。