题目
1.下列各函数对中，（）中的两个函数是相等的. (A.)f(x)=(x^2-1)/(x-1),g(x)=x+1 (B.)f(x)=sqrt(x^2),g(x)=x (C.)f(x)=lnx^2,g(x)=2lnx (D.)f(x)=sin^2x+cos^2x,g(x)=1
1.下列各函数对中，（）中的两个函数是相等的. (
A.)$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}$,g(x)=x+1 (
B.)$f(x)=\sqrt{x^{2}}$,g(x)=x (
C.)$f(x)=lnx^{2}$,g(x)=2lnx (
D.)$f(x)=sin^{2}x+cos^{2}x$,g(x)=1
A.)$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}$,g(x)=x+1 (
B.)$f(x)=\sqrt{x^{2}}$,g(x)=x (
C.)$f(x)=lnx^{2}$,g(x)=2lnx (
D.)$f(x)=sin^{2}x+cos^{2}x$,g(x)=1
题目解答
答案
**答案：D**
**解析：**
A. $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 的定义域为 $x \neq 1$，而 $g(x) = x + 1$ 的定义域为全体实数。定义域不同，故不相等。
B. $f(x) = \sqrt{x^2} = |x|$，与 $g(x) = x$ 的对应值不同（如 $x = -1$ 时，$f(-1) = 1$，$g(-1) = -1$），故不相等。
C. $f(x) = \ln x^2$ 的定义域为 $x \neq 0$，而 $g(x) = 2 \ln x$ 的定义域为 $x > 0$。定义域不同，故不相等。
D. $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x = 1$，与 $g(x) = 1$ 的定义域均为全体实数，且对应值相等，故相等。
**结论：** 选项 D 中的两个函数相等。
$\boxed{D}$
解析
函数相等的条件是：定义域相同且对应法则完全相同。本题需逐一分析各选项中两个函数的定义域和对应关系是否一致。特别注意以下几点：
- 分式函数需排除使分母为零的值；
- 根号表达式需保证被开方数非负；
- 三角恒等式的应用；
- 对数函数的定义域限制。
选项A
- 定义域：$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$中，分母$x-1 \neq 0$，即$x \neq 1$；而$g(x)=x+1$定义域为全体实数。
- 对应法则：虽然$f(x)$可化简为$x+1$（当$x \neq 1$时），但定义域不同，故不相等。
选项B
- 对应法则：$f(x)=\sqrt{x^2}=|x|$，而$g(x)=x$。当$x<0$时，$f(x) \neq g(x)$（例如$x=-1$时，$f(-1)=1 \neq g(-1)=-1$），故不相等。
选项C
- 定义域：$f(x)=\ln x^2$要求$x^2>0$，即$x \neq 0$；而$g(x)=2\ln x$要求$x>0$。定义域不同，故不相等。
选项D
- 对应法则：$f(x)=\sin^2 x + \cos^2 x = 1$（三角恒等式）；$g(x)=1$。
- 定义域：两者均为全体实数。
- 结论：定义域相同且对应值恒为1，故相等。