设y=y(x)满足方程 y=y(x) 0 ) " data-width="252" data-height="33" data-size="2950" data-format="png" style="max-width:100%">且曲线y=y(x)有一斜渐近线为y=y(x)( I ) 求 y=y(x) ;( II ) 求y=y(x) 的极值

考查要点：本题主要考查一阶线性微分方程的求解方法，以及利用渐近线条件确定特解，同时结合导数求极值。

解题思路：

1. 微分方程求解：将原方程整理为标准形式，利用积分因子法求通解。
2. 渐近线条件：通过斜渐近线方程确定通解中的常数，得到特解。
3. 极值求解：对特解函数求导，分析导数的符号变化，确定极值点。

关键点：

• 积分因子的正确计算是解微分方程的核心。
• 渐近线条件的展开与极限分析需结合泰勒展开近似。
• 导数符号分析需注意分母和指数函数的正负性。

(I) 求 $y(x)$

1. 整理微分方程

原方程 $x^2 y' + y = 2x^2 e^{\frac{1}{x}}$，两边除以 $x^2$ 得标准形式：
$y' + \frac{1}{x^2} y = 2 e^{\frac{1}{x}}$

2. 计算积分因子

积分因子为：
$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x^2} dx} = e^{-\frac{1}{x}}$

3. 应用通解公式

通解为：
$y = e^{\frac{1}{x}} \left[ \int 2 e^{\frac{1}{x}} \cdot e^{-\frac{1}{x}} dx + C \right] = e^{\frac{1}{x}} (2x + C)$

4. 利用渐近线条件确定常数

当 $x \to +\infty$ 时，$e^{\frac{1}{x}} \sim 1 + \frac{1}{x}$，代入 $y = 2x + 6$：
$e^{\frac{1}{x}} (2x + C) - (2x + 6) \sim \left(2x + C + \frac{2x + C}{x}\right) - (2x + 6) = (C - 4) + \cdots = 0$
解得 $C = 4$，故特解为：
$y(x) = e^{\frac{1}{x}} (2x + 4)$

(II) 求 $y(x)$ 的极值

1. 求导数

$y'(x) = e^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{2(x-2)(x+1)}{x^2}$

2. 分析导数符号

• 当 $0 < x < 2$ 时，$y'(x) < 0$；
• 当 $x > 2$ 时，$y'(x) > 0$。

3. 确定极值点

$x = 2$ 是极小值点，极小值为：
$y(2) = e^{\frac{1}{2}} \cdot 8 = 8\sqrt{e}$