题目
关于级数 sum_(n=1)^infty (2^n + 3^n)/(6^n) 的敛散性的正确结论为(). A 发散; B 收敛且和为2; C 收敛且和为1; D 收敛且和为 (3)/(2).
关于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{6^n}$ 的敛散性的正确结论为().
A 发散;
B 收敛且和为2;
C 收敛且和为1;
D 收敛且和为 $\frac{3}{2}$.
题目解答
答案
将原级数分解为两个几何级数：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{6^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \left( \frac{1}{3} \right)^n + \left( \frac{1}{2} \right)^n \right)
\]
分别计算两个几何级数的和：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^n = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}
\]
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1
\]
两和相加得：
\[
\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}
\]
**答案：D 收敛且和为 $\frac{3}{2}$**
解析
步骤 1：分解级数
将原级数分解为两个几何级数： \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{6^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \left( \frac{1}{3} \right)^n + \left( \frac{1}{2} \right)^n \right) \]
步骤 2：计算第一个几何级数的和
计算第一个几何级数的和： \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^n = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \]
步骤 3：计算第二个几何级数的和
计算第二个几何级数的和： \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 \]
步骤 4：求和
将两个几何级数的和相加： \[ \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \]
将原级数分解为两个几何级数： \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{6^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \left( \frac{1}{3} \right)^n + \left( \frac{1}{2} \right)^n \right) \]
步骤 2：计算第一个几何级数的和
计算第一个几何级数的和： \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^n = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \]
步骤 3：计算第二个几何级数的和
计算第二个几何级数的和： \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 \]
步骤 4：求和
将两个几何级数的和相加： \[ \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \]