题目
已知n阶方阵A的列向量组线性无关，则下列结论不成立的是（）。 A. rA. =n；B. |A|=0；C. A可逆；D. Ax=0只有零解。
已知$n$阶方阵$A$的列向量组线性无关，则下列结论不成立的是（）。
- A. $r
- A. =n$；
- B. $|A|=0$；
- C. $A$可逆；
- D. $Ax=0$只有零解。
题目解答
答案
为了确定哪个结论不成立，让我们逐步分析每个选项。
已知 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，其列向量组线性无关，我们可以推导出以下结论：
1. **结论 A: $ r(A) = n $**
- 矩阵的秩 $ r(A) $ 是其线性无关列向量的最大数量。由于 $ A $ 的列向量组线性无关，且 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的矩阵，因此秩 $ r(A) $ 必须是 $ n $。这个结论成立。
2. **结论 B: $ |A| = 0 $**
- 一个方阵的行列式为零当且仅当其列向量组线性相关。由于 $ A $ 的列向量组线性无关，行列式 $ |A| $ 必须非零。这个结论不成立。
3. **结论 C: $ A $ 可逆**
- 一个方阵可逆当且仅当其行列式非零。由于 $ A $ 的列向量组线性无关，行列式 $ |A| $ 非零，因此 $ A $ 可逆。这个结论成立。
4. **结论 D: $ Ax = 0 $ 只有零解**
- 齐次方程组 $ Ax = 0 $ 只有零解当且仅当 $ A $ 的列向量组线性无关。由于 $ A $ 的列向量组线性无关，方程组 $ Ax = 0 $ 只有零解。这个结论成立。
根据分析，不成立的结论是：
\[
\boxed{B}
\]
解析
步骤 1：分析选项 A
- 矩阵的秩 $r(A)$ 是其线性无关列向量的最大数量。由于 $A$ 的列向量组线性无关，且 $A$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，因此秩 $r(A)$ 必须是 $n$。这个结论成立。
步骤 2：分析选项 B
- 一个方阵的行列式为零当且仅当其列向量组线性相关。由于 $A$ 的列向量组线性无关，行列式 $|A|$ 必须非零。这个结论不成立。
步骤 3：分析选项 C
- 一个方阵可逆当且仅当其行列式非零。由于 $A$ 的列向量组线性无关，行列式 $|A|$ 非零，因此 $A$ 可逆。这个结论成立。
步骤 4：分析选项 D
- 齐次方程组 $Ax = 0$ 只有零解当且仅当 $A$ 的列向量组线性无关。由于 $A$ 的列向量组线性无关，方程组 $Ax = 0$ 只有零解。这个结论成立。
- 矩阵的秩 $r(A)$ 是其线性无关列向量的最大数量。由于 $A$ 的列向量组线性无关，且 $A$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，因此秩 $r(A)$ 必须是 $n$。这个结论成立。
步骤 2：分析选项 B
- 一个方阵的行列式为零当且仅当其列向量组线性相关。由于 $A$ 的列向量组线性无关，行列式 $|A|$ 必须非零。这个结论不成立。
步骤 3：分析选项 C
- 一个方阵可逆当且仅当其行列式非零。由于 $A$ 的列向量组线性无关，行列式 $|A|$ 非零，因此 $A$ 可逆。这个结论成立。
步骤 4：分析选项 D
- 齐次方程组 $Ax = 0$ 只有零解当且仅当 $A$ 的列向量组线性无关。由于 $A$ 的列向量组线性无关，方程组 $Ax = 0$ 只有零解。这个结论成立。