题目
设 X 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，事件 A 在每次试验中发生的概率 p；varepsilon 是任意正数，a, b 为常数。则下述错误的是(） A. lim_(n to infty) P|(X)/(n) - p| geq varepsilon = 0；B. P|(X)/(n) - p| geq varepsilon = 2[1 - Phi(varepsilon sqrt((n)/(p(1-p)))])；C. Pa leq X leq b approx Phi((b - np)/(sqrt(np(1-p))))- Phi((a - np)/(sqrt(np(1-p))))；D. |(X)/(n) - p| geq varepsilon 是小概率事件；
设 $X$ 是 $n$ 次独立重复试验中事件 $A$ 发生的次数，事件 $A$ 在每次试验中发生的概率 $p$；$\varepsilon$ 是任意正数，$a, b$ 为常数。则下述错误的是(）
- A. $\lim_{n \to \infty} P\left\{\left|\frac{X}{n} - p\right| \geq \varepsilon\right\} = 0$；
- B. $P\left\{\left|\frac{X}{n} - p\right| \geq \varepsilon\right\} = 2[1 - \Phi(\varepsilon \sqrt{\frac{n}{p(1-p)})]}$；
- C. $P\{a \leq X \leq b\} \approx \Phi\left(\frac{b - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)- \Phi\left(\frac{a - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$；
- D. $\left|\frac{X}{n} - p\right| \geq \varepsilon$ 是小概率事件；
题目解答
答案
根据伯努利大数定理，选项A正确。
由棣莫弗-拉普拉斯定理，选项C和D正确。
选项B中，概率表达式应为近似等于，而非精确等于，故错误。
答案：$\boxed{B}$
解析
步骤 1：伯努利大数定理
根据伯努利大数定理，当试验次数 $n$ 趋于无穷大时，事件 $A$ 发生的频率 $\frac{X}{n}$ 会以概率1收敛到事件 $A$ 发生的概率 $p$。因此，$\lim_{n \to \infty} P\left\{\left|\frac{X}{n} - p\right| \geq \varepsilon\right\} = 0$ 是正确的。
步骤 2：棣莫弗-拉普拉斯定理
根据棣莫弗-拉普拉斯定理，当 $n$ 足够大时，随机变量 $X$ 的分布可以用正态分布近似。因此，$P\{a \leq X \leq b\} \approx \Phi\left(\frac{b - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)- \Phi\left(\frac{a - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$ 是正确的。
步骤 3：小概率事件
根据小概率事件的定义，当 $n$ 足够大时，$\left|\frac{X}{n} - p\right| \geq \varepsilon$ 是小概率事件，因此选项D是正确的。
步骤 4：选项B的错误
选项B中，概率表达式应为近似等于，而非精确等于。因此，选项B是错误的。
根据伯努利大数定理，当试验次数 $n$ 趋于无穷大时，事件 $A$ 发生的频率 $\frac{X}{n}$ 会以概率1收敛到事件 $A$ 发生的概率 $p$。因此，$\lim_{n \to \infty} P\left\{\left|\frac{X}{n} - p\right| \geq \varepsilon\right\} = 0$ 是正确的。
步骤 2：棣莫弗-拉普拉斯定理
根据棣莫弗-拉普拉斯定理，当 $n$ 足够大时，随机变量 $X$ 的分布可以用正态分布近似。因此，$P\{a \leq X \leq b\} \approx \Phi\left(\frac{b - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)- \Phi\left(\frac{a - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$ 是正确的。
步骤 3：小概率事件
根据小概率事件的定义，当 $n$ 足够大时，$\left|\frac{X}{n} - p\right| \geq \varepsilon$ 是小概率事件，因此选项D是正确的。
步骤 4：选项B的错误
选项B中，概率表达式应为近似等于，而非精确等于。因此，选项B是错误的。