题目
一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为(P)/(2)．（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率；（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率．
一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为$\frac{P}{2}$．
（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率；
（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率．
（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率；
（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率．
题目解答
答案
解：记Ai：他第i次及格，i=1，2，
已知$P（{A}_{1}）=P（{A}_{2}|{A}_{1}）=P，P（{A}_{2}|\overline{{A}_{1}}）=\frac{P}{2}$，
（1）记B：至少有一次及格，所以$\overline{B}=\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}$，
故P（B）=$1-P（\overline{B}）=1-P（\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}）$=$1-P（\overline{{A}_{1}}）P（\overline{{A}_{2}}|\overline{{A}_{1}}）$=$1-[1-P（{A}_{1}）][1-P（{A}_{2}|\overline{{A}_{1}}）]$=$1-（1-P）•（1-\frac{P}{2}）$=$\frac{3}{2}P-\frac{1}{2}{P}^{2}$；
（2）因为$P（{A}_{1}|{A}_{2}）=\frac{P（{A}_{1}{A}_{2}）}{P（{A}_{2}）}$（*），
由乘法公式，有$P（{A}_{1}{A}_{2}）=P（{A}_{1}）P（{A}_{2}|{A}_{1}）={P}^{2}$，
由全概率公式可得，$P（{A}_{2}）=P（{A}_{1}）P（{A}_{2}|{A}_{1}）+P（\overline{{A}_{1}}）P（{A}_{2}|\overline{{A}_{1}}）$=$P•P+（1-P）•\frac{P}{2}$=$\frac{{P}^{2}}{2}+\frac{P}{2}$，
将以上两个结果代入（*）可得，$P（{A}_{1}|{A}_{2}）=\frac{{P}^{2}}{\frac{{P}^{2}}{2}+\frac{P}{2}}$=$\frac{2P}{P+1}$．
已知$P（{A}_{1}）=P（{A}_{2}|{A}_{1}）=P，P（{A}_{2}|\overline{{A}_{1}}）=\frac{P}{2}$，
（1）记B：至少有一次及格，所以$\overline{B}=\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}$，
故P（B）=$1-P（\overline{B}）=1-P（\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}）$=$1-P（\overline{{A}_{1}}）P（\overline{{A}_{2}}|\overline{{A}_{1}}）$=$1-[1-P（{A}_{1}）][1-P（{A}_{2}|\overline{{A}_{1}}）]$=$1-（1-P）•（1-\frac{P}{2}）$=$\frac{3}{2}P-\frac{1}{2}{P}^{2}$；
（2）因为$P（{A}_{1}|{A}_{2}）=\frac{P（{A}_{1}{A}_{2}）}{P（{A}_{2}）}$（*），
由乘法公式，有$P（{A}_{1}{A}_{2}）=P（{A}_{1}）P（{A}_{2}|{A}_{1}）={P}^{2}$，
由全概率公式可得，$P（{A}_{2}）=P（{A}_{1}）P（{A}_{2}|{A}_{1}）+P（\overline{{A}_{1}}）P（{A}_{2}|\overline{{A}_{1}}）$=$P•P+（1-P）•\frac{P}{2}$=$\frac{{P}^{2}}{2}+\frac{P}{2}$，
将以上两个结果代入（*）可得，$P（{A}_{1}|{A}_{2}）=\frac{{P}^{2}}{\frac{{P}^{2}}{2}+\frac{P}{2}}$=$\frac{2P}{P+1}$．
解析
步骤 1：定义事件
记A_i：他第i次及格，i=1，2，
已知$P（{A}_{1}）=P（{A}_{2}|{A}_{1}）=P，P（{A}_{2}|\overline{{A}_{1}}）=\frac{P}{2}$，
步骤 2：计算至少有一次及格的概率
记B：至少有一次及格，所以$\overline{B}=\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}$，
故P（B）=$1-P（\overline{B}）=1-P（\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}）$=$1-P（\overline{{A}_{1}}）P（\overline{{A}_{2}}|\overline{{A}_{1}}）$=$1-[1-P（{A}_{1}）][1-P（{A}_{2}|\overline{{A}_{1}}）]$=$1-（1-P）•（1-\frac{P}{2}）$=$\frac{3}{2}P-\frac{1}{2}{P}^{2}$；
步骤 3：计算已知第二次及格时第一次及格的概率
因为$P（{A}_{1}|{A}_{2}）=\frac{P（{A}_{1}{A}_{2}）}{P（{A}_{2}）}$（*），
由乘法公式，有$P（{A}_{1}{A}_{2}）=P（{A}_{1}）P（{A}_{2}|{A}_{1}）={P}^{2}$，
由全概率公式可得，$P（{A}_{2}）=P（{A}_{1}）P（{A}_{2}|{A}_{1}）+P（\overline{{A}_{1}}）P（{A}_{2}|\overline{{A}_{1}}）$=$P•P+（1-P）•\frac{P}{2}$=$\frac{{P}^{2}}{2}+\frac{P}{2}$，
将以上两个结果代入（*）可得，$P（{A}_{1}|{A}_{2}）=\frac{{P}^{2}}{\frac{{P}^{2}}{2}+\frac{P}{2}}$=$\frac{2P}{P+1}$．
记A_i：他第i次及格，i=1，2，
已知$P（{A}_{1}）=P（{A}_{2}|{A}_{1}）=P，P（{A}_{2}|\overline{{A}_{1}}）=\frac{P}{2}$，
步骤 2：计算至少有一次及格的概率
记B：至少有一次及格，所以$\overline{B}=\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}$，
故P（B）=$1-P（\overline{B}）=1-P（\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}）$=$1-P（\overline{{A}_{1}}）P（\overline{{A}_{2}}|\overline{{A}_{1}}）$=$1-[1-P（{A}_{1}）][1-P（{A}_{2}|\overline{{A}_{1}}）]$=$1-（1-P）•（1-\frac{P}{2}）$=$\frac{3}{2}P-\frac{1}{2}{P}^{2}$；
步骤 3：计算已知第二次及格时第一次及格的概率
因为$P（{A}_{1}|{A}_{2}）=\frac{P（{A}_{1}{A}_{2}）}{P（{A}_{2}）}$（*），
由乘法公式，有$P（{A}_{1}{A}_{2}）=P（{A}_{1}）P（{A}_{2}|{A}_{1}）={P}^{2}$，
由全概率公式可得，$P（{A}_{2}）=P（{A}_{1}）P（{A}_{2}|{A}_{1}）+P（\overline{{A}_{1}}）P（{A}_{2}|\overline{{A}_{1}}）$=$P•P+（1-P）•\frac{P}{2}$=$\frac{{P}^{2}}{2}+\frac{P}{2}$，
将以上两个结果代入（*）可得，$P（{A}_{1}|{A}_{2}）=\frac{{P}^{2}}{\frac{{P}^{2}}{2}+\frac{P}{2}}$=$\frac{2P}{P+1}$．