题目
设λ=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵 ((1)/(3)A^2 )^-1 有一个特征值等于（ ）。A. (4)/(3) B. (3)/(4) C. (1)/(2) D. (1)/(4)
设λ=2是可逆矩阵A的一个特征值，
则矩阵$ (\frac{1}{3}A^2 )^{-1} $有一个特征值等于（ ）。
A.$ \frac{4}{3} $
B.$ \frac{3}{4} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ \frac{1}{4} $
题目解答
答案
B
解析
步骤 1：确定矩阵A的特征值
已知λ=2是矩阵A的一个特征值，即存在非零向量x，使得Ax=2x。
步骤 2：计算矩阵$A^2$的特征值
由于λ=2是矩阵A的特征值，那么$A^2x=A(Ax)=A(2x)=2Ax=2(2x)=4x$，所以矩阵$A^2$的特征值为4。
步骤 3：计算矩阵$\frac{1}{3}A^2$的特征值
矩阵$\frac{1}{3}A^2$的特征值为$\frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}$。
步骤 4：计算矩阵$(\frac{1}{3}A^2)^{-1}$的特征值
矩阵$(\frac{1}{3}A^2)^{-1}$的特征值为$(\frac{4}{3})^{-1} = \frac{3}{4}$。
已知λ=2是矩阵A的一个特征值，即存在非零向量x，使得Ax=2x。
步骤 2：计算矩阵$A^2$的特征值
由于λ=2是矩阵A的特征值，那么$A^2x=A(Ax)=A(2x)=2Ax=2(2x)=4x$，所以矩阵$A^2$的特征值为4。
步骤 3：计算矩阵$\frac{1}{3}A^2$的特征值
矩阵$\frac{1}{3}A^2$的特征值为$\frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}$。
步骤 4：计算矩阵$(\frac{1}{3}A^2)^{-1}$的特征值
矩阵$(\frac{1}{3}A^2)^{-1}$的特征值为$(\frac{4}{3})^{-1} = \frac{3}{4}$。